派出所无法办理居住证的问题

因我母亲去世，我父亲是衡阳人，职工退休现在60多岁身体不太好，目前随我居住在株洲，需要住院治疗，但回衡阳一个人住院，我作为子女不放心，准备给他在株洲异地住院治疗，医保系统需要他办理当地的居住证（提前吐槽一下，目前的居住证政策要居住半年才能发放，只能先办理等以后再来株洲异地住院，谁还能控制什么时候需要生病住院）

现在我父亲就携带他本人的身份证，我的身份证、房产证于2021年4月12日，去嵩山路派出所办理居住证，以备日后使用。根据派出所的要求，我们也知道还缺少我和我父亲的关系证明。本来抱着公安机关人口信息系统一查，就能证明我两的父子关系，但是事与愿违，无法办理居住证。所以我想问：

1、我出生85后，私人接生，那时候哪有什么出生证明？即使有，多次人口普查，和学习、工作经历，公安机关是不是应该完善了；

2、我的户口当年为读书，自96年就投靠亲戚转来株洲，身份证号码都是株洲原生号码，（株洲公安在接受我的户口信息时就有义务记录我的家庭成员关系，如父母情况等），理应在户籍或人口信息中查询得到。

3、派出所建议我和我父亲签订一份租赁协议一遍办理居住证。一是这样做存在弄虚作假、二是这样也许会引发其他个人所得税等衍生问题。

我个人认为，公安机关收集、管理公民个人信息。从我出生至今，我和我的家人没有刻意隐瞒亲属之间关系，积极配合个人信息录入和人口普查工作，公安机关有义务完善公民的直系亲属（父母、子女、兄弟关系），便于公民办理相关业务。即使是几十年间公民信息由纸质化转型为信息化过程中，人口信息采集有不完善的地方，也是由公安内部处理完善或要求不完善人提供信息予以完善，而不是要求公民负责来举证相关直系亲属关系。

如果公安机关都不能证明我爹是我爹，除了做亲子鉴定还有什么国家机关有能力来证明这个问题？！如果我不和我父亲签订租赁协议，是否无法证明我父亲随我居住的事实，办理居住证？！